В слове «наконец-то» можно выделить две орфограммы: правописание наречий и правописание частиц с частями речи. Соответственно, в двух написаниях могут быть допущены ошибки.
Правописание наречий
Пишутся слитно наречия, образованные из предложно-падежных форм, если в современном русском языке есть омонимичное сочетание существительного с предлогом (в другом значении). Данное слово образовано путем адвербиализации слова «конец» в винительном падеже с предлогом «на». Например:
Наконец (наречие, поэтому слитное написание) он сделал это задание.
На конец (предлог с существительным) месяца принято откладывать самую легкую работу.
Правописание выделительной частицы «-то»
Для выделения и придания оттенка эмоциональности употребляется после слова самостоятельной части речи частица «-то», которая отделяется дефисом:
Вернулась из магазина наконец-то.
Следует обратить внимание, что «-то» не всегда функционирует в роли частицы. В неопределенных наречиях и местоимениях «-то» является словообразующим постфиксом (где-то, какой-то).
Пунктуационные особенности
Наречие «наконец» без частицы «-то» может выступать как членом предложения (обстоятельством), так и вводным словом. Если анализированная лексема имеет значение «присоединение при перечислении, последовательность изложения мыслей» или «напоследок, в итоге», то она является членом предложения. Например:
Он мог бы начать это дело раньше или попросить помощи наконец.
Если «наконец» используется для усиления эмоции, то оно функционирует как вводное слово:
Достаточно, наконец, кричать!
Когда же у слова появляется частица, то сочетание «наконец-то» выражает удовлетворение по поводу осуществления чего-либо. В таком случае наречие используется в восклицательных предложениях, и выделять его запятыми нет необходимости:
Наконец-то мы дождались праздников!
Синонимические конструкции
Слово «наконец-то» может вступать в синонимические отношения со словами «в конце концов», «напоследках», «напоследок» (Словарь синонимов русского языка, 2012).