Оба варианты написания верны — в одном случае раздельное написание, в другом будет написание через дефис.
Раздельное написание словосочетания «по другому»
Предлог «по» с определительным местоимением «другому» пишется раздельно. Местоимение отвечает на вопрос «какому?» По (какому?) другому.
Местоимение в подобных случаях согласуется с существительным в роде, числе и падеже. Также во избежании ошибки в написании слово «другого» можно легко заменить на слово «иного»: по другому = по иному.
Например:
По другому договору рабочие имеют право на досрочный отпуск.
Автомобиль поехал по другому (иному) пути.
Я позвоню тебе по другому телефону.
Написание словосочетания «по-другому» через дефис
Через дефис пишется наречие. Необходимо в этом случае задать вопрос «как?» — «по-другому». В русском языке есть правило: в наречиях с приставкой «по-» и наречиями с суффиксами «-ому-«, ему ставится дефис.
Например:
По-другому нельзя решить эту проблему.
Солнце в этот прекрасный день светит по-другому.
По-другому я заставил себя жить, по-новому.
Морфемные разборы «по-другому» и «по другому»
В наречии «по-другому» основа «по-другому», корень «друг», приставка «по» и суффикс «ому».
В местоимении «(по) другому» окончание «ому», основа «друг», корень «друг».
Синтаксические особенности «по-другому» и «по другому»
В предложении наречие «по-другому» является обстоятельством образа действия, а местоимение определением.
Например:
А я вот думаю (как?) по-другому.
По (какому?) другому берегу реки брели рыбаки.
Морфологические признаки наречия «по-другому»
А я вот думаю по-другому.
I. По-другому – наречие; признак действия. Думаю (как?) по-другому.
II. Наречие по-другому – местоименное; определительное, образа действия; неизменяемое.
III. А я вот думаю по-другому (подчёркиваем пунктиром с точкой, так как это обстоятельство).
Морфологические признаки местоимения (по) другому
По другому берегу реки брели рыбаки.
I. Указывает на признак предмета, но не называет его: по какому берегу? – по другому. Н. ф. – другой.
II. Морфологические признаки: постоянные – определительное; непостоянные – в единственном числе, мужском роде, дательном падеже.
III. (По какому берегу?) по другому (подчёркиваем волнистой линией, так как это определение).